Isométries du plan affine euclidien

Isométries du plan affine euclidien


Voici un cours sur les isométries du plan avec des figures et des exercices interactifs. L'étude des isométries et des similitudes du plan complexe est l'objet du document Géométrie du plan complexe .
Avertissement
Ce cours est une partie de l'option de géométrie enseignée de 2013 à 2015 au premier semestre de la première année de licence MPI à la Faculté des Sciences d'Orsay de l'université Paris Sud. Il s'agissait de pallier l'absence des transformations au Lycée. L'ordre de ce document ne correspond pas à l'ordre du cours. Merci à Chantal Causse pour les figures illustrant la définition de chaque type d'isométrie. Merci à Daniel Perrin pour ses suggestions quant à une présentation adaptée des résultats généraux sur les isométries et leur classification.

I Applications du plan affine

II Exemples d'isométries

III Isométries et angles

IV Droites invariantes par des isométries

V Composées d'isométries

VI Décomposition en produit de réflexions.

VII Classification

VIII Faisons agir des isométries

I Applications du plan affine

Isométries du plan affine euclidien → I Applications du plan affine

I-1 Applications

Vous connaissez les fonctions à valeurs réelles d'une variable réelle. Elles associent à un nombre réel un autre nombre réel par une formule ou un autre moyen. Certaines sont définies seulement sur une partie de .
Nous allons étudier des applications du plan affine eucliden 𝒫.

Définition

Une application ϕ associe à n'importe quel point M de 𝒫 un point M=ϕ(M). Chaque point du plan a une et une seule image.
Pour des détails sur la notion d'application consultez ce document Doc Ensembles .
De plus les applications que nous étudierons seront bijectives :

Définition

Par une application bijective, chaque point du plan a un et un seul antécédent. L'inverse ϕ 1 de ϕ est l'application qui à M=ϕ(M) associe M. C'est le retour à la position initiale.
Comme au lycée, nous dirons souvent transformation pour une application bijective du plan.

I-1-1 Exemple de la projection

I-1-2 Points fixes

I-1-1 Exemple de la projection

Par contre, la projection orthogonale sur une droite n'est pas bijective et ne conserve pas les distances.

Définition

Dans le plan affine euclidien, on considère une droite 𝒟. On appelle projection orthogonale sur 𝒟 l'application de 𝒫 dans 𝒫 qui à M associe le point M intersection de 𝒟 et de la perpendiculaire à 𝒟 passant par M. On dit que M est le projeté orthogonal de M sur 𝒟.

Sur la figure, la droite 𝒟 est l'axe des abscisses. Les longueurs MP et MS sont égales mais MS est strictement inférieur à MP. On voit aussi que [MP] et [MQ] ont même projeté [MP].

figure d'une projection


I-1-2 Points fixes

I-2 Isométries

Dans ce document, nous nous intéressons aux applications qui conservent les longueurs.

Définition

On dit qu'une application ϕ du plan 𝒫 dans lui-même est une isométrie si elle conserve les longueurs, c'est-à-dire si l'on a, pour tous points A et B dans 𝒫, ϕ(A)ϕ(B)=AB.

Proposition

Une isométrie transforme trois points alignés en trois points alignés dans le même ordre.
En particulier, une isométrie conserve les milieux.

Démonstration
On rappelle l'inégalité triangulaire : Soient A, B et C trois points du plan. On a l'inégalité triangulaire :
ACAB+BC
L'égalité AC=AB+BC vaut si et seulement si les trois points sont alignés avec B entre A et C. Soient trois points A, B et C alignés et A, B et C leurs images respectives par une isométrie ϕ. De AC=AB+BC, on déduit, puisque ϕ est une isométrie, AC=AB+BC. Donc A, B et C sont alignés dans le même ordre que A, B et C. Le milieu M de [AC] est l'unique point vérifiant AC=AM+MC et AM=MC. Son image M par ϕ vérifie AC=AM+MC et AM=MC, c'est donc le milieu de [AC].
Fin de la démonstration

I-3 Composition, inverse, involution

Isométries du plan affine euclidienI Applications du plan affine → I-3 Composition, inverse, involution

Définition

Si ϕ et ψ sont deux applications de 𝒫 dans lui-même, la composée ϕψ est l'application de 𝒫 dans lui-même qui à un point M associe le point ϕ(ψ(M)) image de ψ(M) par ϕ.
M𝒫(ϕψ)(M)=ϕ(ψ(M))
On sera attentif au fait qu'on applique d'abord l'application qui est à droite du symbole de composition.

Remarques

  1. On note Id l'application identité du plan. Alors, pour toute application ψ du plan, on a : ψId=Idψ=ψ.
  2. L'inverse ϕ 1 d'une application bijective ϕ vérifie ϕϕ 1=ϕ 1ϕ=Id.
  3. On montre facilement que la composée de deux isométries est encore une isométrie.

Définition

On appelle involution une application ψ, différente de l'identité, qui est son propre inverse pour la loi de composition, c'est-à-dire que ψ vérifie ψψ=Id. On dit aussi que ψ est involutive.
Isométries du plan affine euclidienI Applications du plan affine → I-3 Composition, inverse, involution

II Exemples d'isométries

Isométries du plan affine euclidien → II Exemples d'isométries

II-1 Translation

II-1-1 Définition

Définition

On appelle translation de vecteur u l'application du plan affine 𝒫 dans lui-même qui à un point M associe le point M tel que MM=u. On la note t u.
Sur la figure, le F vert est l'image du F bleu par une translation de vecteur u. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

II-1-2 Propriétés et exercices

Proposition

Voici des propriétés d'une translation. D'autres seront établies plus loin.
  1. Une translation de vecteur u non nul n'a pas de points fixes. La translation de vecteur nul est l'identité.
  2. L'inverse de la translation de vecteur u est la translation de vecteur u.
  3. Une translation est une isométrie.
  4. Soient A et B deux points distincts et A et B leurs images respectives par la translation de vecteur u. L'image de la droite (AB) par la translation de vecteur u est la droite (AB). Elle est parallèle à (AB).
  5. Une translation transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.

Démonstration
1. Un point M est fixe par la translation de vecteur u si et seulement si on a u=0, puisque par définition MM est égal au vecteur de la translation. Ainsi, seule la translation de vecteur nul admet des points fixes et tout point est fixe par la translation de vecteur nul qui est l'identité.
2. L'inverse de t u est t u puisqu'on a, pour tout M du plan, MM=u.
3. On pose t u(A)=A et t u(B)=B, alors on a :
AA=uetBB=u
Le quadrilatère ABBA est un parallélogramme donc on a : AB=AB. On en déduit : AB=AB, donc t u est une isométrie.
4. Comme t u est une isométrie, l'image de la droite (AB) par la translation t u est contenue dans la droite (AB). De même on a : t u(AB)(AB). L'image de (AB) par t u est donc la droite (AB) qui lui est parallèle, en effet les vecteurs directeurs AB et AB sont égaux (cf (3)).
5. résulte de 4.
Fin de la démonstration

Remarque

La conservation des angles orientés par une translation est démontrée ici et les droites invariantes par une translation sont explicitées .

Exercices

Toutes les propriétés des translations sont utiles pour faire ces exercices. Les trois premiers exercices présentent des données graphiques.
Images de deux points par une translation
Triangles translatés
Cercles translatés
Parallèles et translation

II-2 Symétrie centrale

II-2-1 Définition

Définition

On appelle symétrie centrale de centre C l'application du plan affine 𝒫 dans lui-même qui à un point M associe le point M tel que CM=CM. On la note σ C.
Sur la figure, le F vert est l'image du F bleu par la symétrie centrale de centre C. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

II-2-2 Propriétés et exercices

Proposition

Voici des propriétés d'une symétrie centrale. D'autres seront établies plus loin.
  1. Le centre d'une symétrie centrale est le milieu du segment joignant un point M et son image M.
  2. Le centre d'une symétrie centrale est son unique point fixe.
  3. L'inverse d'une symétrie centrale est elle-même. Une symétrie centrale est donc une involution.
  4. Une symétrie centrale est une isométrie.
  5. Soient A et B deux points distincts. L'image de la droite (AB) par une symétrie centrale est la droite passant par les images de A et de B. Elle est parallèle à (AB).
  6. Une symétrie centrale transforme deux droites parallèles en deux droites parallèles.

Démonstration
Soit sigma une symétrie centrale. On note C son centre : σ=σ C.
1. Par définition, si M est un point et M=σ C(M) alors : MC=CM. Le point C est le milieu de [MM].
2. Le point N est un point fixe si et seulement si il vérifie : CN=CN si et seulement si le vecteur CN est nul. Donc C est l'unique point fixe.
3. On a aussi CM=CM donc M est l'image de M=σ C(M) par σ C. L'application σ C est son propre inverse. On a σ Cσ C=Id.
4. On pose σ C(A)=A et σ C(B)=B, alors le quadrilatère ABAB est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. On a donc : AB=AB. Par conséquent, σ C est une isométrie : AB=AB.
5. Soient M(AB) et M=σ C(M). Les points A, B et M sont alignés, c'est-à-dire que AB et AM sont colinéaires. Alors AB et AM sont colinéaires donc A, B et M sont alignés. L'image de la droite (AB) par σ C est donc contenue dans la droite (AB). De même on a : σ C(AB)(AB). L'image de (AB) par σ C est donc la droite (AB) qui lui est parallèle car les vecteurs directeurs AB et BA sont égaux.
Fin de la démonstration

Remarque

La conservation des angles orientés par une symétrie centrale est démontrée ici et les droites invariantes par une symétrie centrale sont explicitées .

Exercices

Toutes les propriétés des symétries centrales sont utiles pour faire ces exercices. Les exercices demandent une réponse graphique.
Symétrique d'un point (1)
Symétrique d'un point (2)

II-3 Réflexion

II-3-1 Définition

Définition

Soit 𝒟 une droite du plan 𝒫. On appelle symétrie orthogonale par rapport à 𝒟 ou réflexion d'axe 𝒟 , et on note σ 𝒟, l'application du plan affine 𝒫 dans lui-même qui à un point M associe le point M tel que
  1. le milieu de [MM] appartienne à 𝒟
  2. la droite (MM) soit perpendiculaire à 𝒟.

Sur la figure, l'axe de symétrie est représenté par un trait mixte. L'image du F bleu par la symétrie est le F vert. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.


II-3-2 Propriétés et exercices

Proposition

Voici des propriétés d'une réflexion. D'autres seront établies plus loin.
  1. Les points de 𝒟 sont les seuls points fixes.
  2. L'inverse de σ 𝒟 est σ 𝒟.
  3. Une réflexion est une isométrie.
  4. Soient A et B deux points distincts et A et B leurs images respectives par σ 𝒟. L'image par σ 𝒟 de (AB) est (AB). Si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.

Démonstration
1. Un point N est fixe si et seulement si il est confondu avec son image N si et seulement si le segment [NN] est réduit au point N qui est aussi son milieu si et seulement si N appartient à 𝒟.
2. La définition d'une réflexion est symétrique en M et M.
3. Soient M 0 et N 0 les projetés orthogonaux respectifs de M et N sur 𝒟, on a :
MN 2=MM 0+M 0N 0+N 0N 2=MM 0 2+M 0N 0 2+NN 0 2+2.MM 0.NN 0
De même on a : MN 2=MM 0 2+M 0N 0 2+NN 0 2+2.MM 0.NN 0.
Alors de MM 0=MM 0 et NN 0=NN 0 on déduit l'égalité MN 2=MN 2. Donc une réflexion est une isométrie.
4. On a vu qu'une isométrie conserve l'alignement donc l'image de (AB) par σ 𝒟 est contenue dans la droite (AB). Comme A et B sont les images de A et B par σ 𝒟, l'image de (AB) par σ 𝒟 est contenue dans la droite (AB), soit σ 𝒟((AB))(AB). En appliquant σ 𝒟 à cette inclusion, on obtient (AB)σ 𝒟((AB)). Comme on avait σ 𝒟((AB))(AB), on conclut à l'égalité σ 𝒟((AB))=(AB).
Soient deux droites parallèles Δ 1 et Δ 2 et Δ 1 et Δ 2 leurs images respectives par σ 𝒟. Alors Δ 1 et Δ 2 sont parallèles, en effet si elles étaient sécantes en un point C alors σ 𝒟(C) serait commun à Δ 1 et Δ 2, ce qui est impossible.
Fin de la démonstration

Remarque

Une réflexion transforme un angle orienté en son opposé (voir ici ). Les droites invariantes par une réflexion sont explicitées .

Exercices

Toutes les propriétés des réflexions sont utiles pour faire ces exercices. Les exercices demandent une réponse graphique.
Symétrique d'un point (1)
Symétrique d'un point (2)
Image d'un triangle par une réflexion (1)
Image d'un triangle par une réflexion (2)
Image d'un triangle par une réflexion (3)

II-4 Symétrie glissée

II-4-1 Définition


Définition

On appelle symétrie glissée la composée d'une réflexion et d'une translation de vecteur dirigeant l'axe de la réflexion.
Une symétrie glissée est une isométrie comme composée d'isométries.
Sur la figure, l'axe de symétrie est représenté par un trait mixte, et le vecteur est représenté en vert. L'image du F bleu par la symétrie glissée d'axe D et de vecteur u est le F vert. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.


II-4-2 Propriétés et exercice

Proposition

Soit Delta une droite dirigée par un vecteur u. La symétrie glissée ψ=σ Δt u vérifie ces propriétés :
  1. Les applications t u et σ Δ commutent. On a aussi ψ=t uσ Δ.
  2. Le carré ψψ de psi vaut t 2u.
  3. La décomposition ψ=σ Δt u est unique.
  4. L'application ψ n'admet aucun point fixe.
  5. La droite Δ est l'ensemble des milieux de [Mψ(M)] pour M𝒫.

Démonstration
1. Les applications t u et σ Δ commutent si et seulement si on a l'égalité t uσ Δt u=σ Δ. Soit un point M du plan, on pose
M 1=t u(M),M 2=σ Δ(M 1)etM 3=t u(M 2).

Par l'égalité M 1M=u=M 2M 3, le quadrilatère MM 1M 2M 3 est un parallélogramme. Comme u dirige Δ et que (M 1M 2) est perpendiculaire à Δ, l'angle MM 1M 2^ est droit donc MM 1M 2M 3 est un rectangle.

Alors Δ est une médiane puisque parallèle à (MM 1) et passant par le milieu de [M 1M 2]. Donc le milieu de [MM 3] appartient à Δ et (MM 3) est perpendiculaire à Δ, ceci signifie que M 3 est le symétrique de M par rapport à Δ.
On a donc démontré t uσ Δt u=σ Δ, qui est équivalent à t uσ Δ=σ Δt u.
2. En utilisant (1) et le fait qu'une réflexion est involutive, on peut écrire :
ψψ=t uσ Δσ Δt u=t 2u.

3. Le vecteur de la symétrie glissée est uniquement déterminé par l'égalité ψψ=t 2u ; la réflexion est alors uniquement déterminée par σ Δ=ψt u.
4. Comme la translation ψψ n'admet aucun point fixe, il en est de même pour ψ.
5. Sur la figure, M 3 est l'image de M 1 par ψ. La droite Δ est une droite des milieux dans le triangle M 1M 2M 3 puisque parallèle à la base (M 2M 3) et passant par le milieu de [M 1M 2] donc elle passe par le milieu N de [M 1M 3]. On a donc montré que le milieu N de [M 1ψ(M 1)] appartient à Δ pour tout M 1.
Réciproquement, soit P un point de Δ. On pose P 0=t u2(P) et P 1=t u(P 0). Comme P 0 appartient à Δ, il est fixe par σ Δ donc P 1 est l'image par ψ de P 0 et P est, par construction, le milieu de [P 0P 1]. On a montré que tout point de Δ est le milieu d'un segment [Mψ(M)] pour M point du plan.
L'assertion (5) est démontrée.
Fin de la démonstration

Exercice


Images de points par une symétrie glissée

II-4-3 Remarques

Remarques

  1. Une symétrie glissée n'est pas une translation sinon on aurait l'égalité entre une translation et une réflexion. Une symétrie glissée n'est ni une réflexion, ni une rotation puisqu'elle n'admet aucun point fixe (voir ici ).
  2. Une symétrie glissée transforme un angle orienté en son opposé puisqu'elle est la composée d'une réflexion et d'une translation (voir ici et ici )
  3. Les droites invariantes par une symétrie glissée sont explicitées .
  4. En utilisant la décomposition d'une translation comme composée de réflexions d'axes parallèles (voir ici ), on peut montrer la proposition suivante.

Proposition

Dans le plan affine, on considère une droite Delta et un vecteur v non nul. Alors σ Δ et t v commutent si et seulement v dirige Delta.

II-5 Rotation

II-5-1 Définition

Définition

On appelle rotation de centre O et d'angle θ, et on note ρ(O,θ), l'application du plan 𝒫 dans lui-même qui fixe O et qui, à M distinct de O, associe M tel que :
  1. OM=OM
  2. (OM,OM)=θ

Exercices


Images de deux points par une rotation
Image d'un triangle par une rotation

Figure mobile pour une rotation.
Sur la figure, le F vert est l'image du F bleu par une rotation d'angle α et de sens direct. Vous pouvez déplacer tous les objets rouges.

II-5-2 Composée de deux réflexions d'axes sécants

Isométries du plan affine euclidienII Exemples d'isométriesII-5 Rotation → II-5-2 Composée de deux réflexions d'axes sécants

Proposition

Soient Delta et Δ deux droites sécantes en O alors σ Δσ Δ est la rotation de centre O et d'angle 2(Δ,Δ).
σ Δσ Δ=ρ(O,2.(Δ,Δ))

Réciproquement, si Delta est une droite donnée passant par O, on peut écrire ρ(O,θ) comme la composée σ Δσ ΔΔ est la droite image de Delta par la rotation de centre O et d'angle θ/2 : Δ=ρ(O,θ/2)(Δ).

Démonstration
Remarquons d'abord que σ Δσ Δ est une isométrie qui fixe O, on a donc : OM=OM pour M=σ Δσ Δ(M).
Il reste à calculer l'angle (OM,OM). On note N=σ Δ(M) et on considère A (resp. B) un point de Delta (resp. Δ) distinct de O. Comme une réflexion transforme un angle orienté en son opposé (voir ici ), on peut écrire à l'aide de la relation de Chasles :
(OM,OM) = (OM,ON)+(ON,OM) = (OM,OA)+(OA,ON)+(ON,OB)+(OB,OM) = 2.(OA,ON)+2.(ON,OB) = 2.(OA,OB) = 2(Δ,Δ)
Fin de la démonstration

Exercice


Rotation : produit de réflexions
Isométries du plan affine euclidienII Exemples d'isométriesII-5 Rotation → II-5-2 Composée de deux réflexions d'axes sécants

II-5-3 Propriétés

Proposition

  1. Une rotation est une isométrie.
  2. Pour tout point O, la rotation de centre O et d'angle 0 est l'identité.
  3. La rotation de centre O et d'angle π est la symétrie centrale de centre O.
  4. La composée de ρ(O,θ) et ρ(O,θ) est ρ(O,θ+θ).
  5. L'inverse de ρ(O,θ) est ρ(O,θ).

Démonstration
  1. Une rotation est une isométrie comme composée de deux réflexions.
  2. Les égalités OM=OM et (OM,OM)=0 sont équivalentes à M=M donc toute rotation d'angle nul est l'identité.
  3. Comme on a u,u^=π, la rotation ρ(O,π) est, par définition, la symétrie centrale de centre O.
  4. Posons r=ρ(O,θ)ρ(O,θ) alors r fixe O et pour M un point du plan distinct de O, posons M=ρ(O,θ)(M) et M=ρ(O,θ)(M). On a alors par définition et relation de Chasles des angles orientés :
    • OM=OM=OM
    • OM,OM^=OM,OM^+OM,OM^=θ+θ
  5. se déduit de (4) ou de la définition.
Fin de la démonstration

Remarque

Comme une rotation est composée de deux reflexions, elle conserve les angles orientés (voir ici ). Le cas des rotations admettant une droite invariante est explicité .

II-5-4 Ordre d'une rotation

Si ϕ est une application et k un entier naturel non nul, on note ϕ k la composée de k applications égales à ϕ. Par extension, on dit ϕ 0 est l'identité.

Définition

On dit qu'une rotation ρ est d'ordre fini s'il existe un entier naturel k non nul tel que ρ k est l'identité. L'ordre de ρ est alors le plus petit entier naturel n non nul tel que ρ n est l'identité.

Exemples

Une involution est d'ordre 2. La rotation ρ(O,2πn) est d'ordre n.

Exercice

Ordre d'une rotation conservant un végétal.

III Isométries et angles

Isométries du plan affine euclidien → III Isométries et angles

III-1 Translations et symétries centrales

Isométries du plan affine euclidienIII Isométries et angles → III-1 Translations et symétries centrales

Proposition

Les symétries centrales et les translations conservent les angles orientés de vecteurs.

Démonstration
Soit ϕ une symétrie centrale ou une translation. Soient O, A et B trois points distincts et O, A et B leurs images respectives par ϕ. On a vu que si ϕ est une translation, on a les égalités : OA=OA et OB=OB ; on en déduit :
(OA,OB)=(OA,OB).
Si ϕ est une symétrie centrale, on a les égalités : OA=OA et OB=OB ; on en déduit :
(OA,OB)=(OA,OB)=(OA,OB).
Fin de la démonstration
Isométries du plan affine euclidienIII Isométries et angles → III-1 Translations et symétries centrales

III-3 Exercices

IV Droites invariantes par des isométries

Isométries du plan affine euclidien → IV Droites invariantes
Nous déterminons dans cette partie quelles droites sont invariantes par chaque type d'isométrie.

Définition

On dit qu'une droite est invariante par une isométrie ϕ , si elle est égale à son image par ϕ.

On a vu que l'image d'une droite (AB) par ϕ est la droite (ϕ(A)ϕ(B)) ; pour décider si (AB) est invariante, il suffit donc de chercher à quelle condition ϕ(A) et ϕ(B) appartiennent à (AB).

Remarque

Une droite fixe point par point est invariante, la réciproque est fausse. Ceci est illustré par l'exemple de la translation qui n'a aucun point fixe mais une infinité de droites invariantes.

IV-1 Translation

IV-2 Symétrie centrale

IV-3 Réflexion

IV-4 Symétrie glissée

IV-5 Rotation

Isométries du plan affine euclidien → IV Droites invariantes

IV-1 Translation

Proposition

Soit un vecteur u non nul. Une droite 𝒟 est invariante par t u si et seulement si elle est dirigée par u.

Démonstration
Soit une droite 𝒟 dirigée par u alors si M appartient à 𝒟, le point M=t u(M) appartient à 𝒟 puisqu'on a MM=u. Donc 𝒟 est invariante.
Réciproquement, si une droite (AB) est invariante par t u, alors A=t u(A) appartient à (AB) et le vecteur u=AA dirige (AB).
Fin de la démonstration

IV-2 Symétrie centrale

IV-3 Réflexion

Proposition

Soit 𝒟 une droite du plan. Les droites invariantes par σ 𝒟 sont 𝒟 et les droites perpendiculaires à 𝒟.

Démonstration
La droite 𝒟 est invariante par σ 𝒟 puisque fixe point par point.
Soit une droite 𝒟 distincte de 𝒟 et B un point de 𝒟 n'appartenant pas à 𝒟 et B son image σ 𝒟(B).
Si 𝒟 est invariante par σ 𝒟, alors B appartient à 𝒟 qui est donc confondue avec (BB) et, par définition de σ 𝒟, perpendiculaire à 𝒟
Réciproquement, si 𝒟 perpendiculaire à 𝒟, par définition, pour tout B de 𝒟, son image B appartient à 𝒟 donc 𝒟 est invariante.
Fin de la démonstration

IV-4 Symétrie glissée

IV-5 Rotation

Proposition

Une rotation qui admet une droite invariante est une symétrie centrale ou l'identité.

Démonstration
Soit 𝒟 une droite. Comme ici , décomposons ρ(O,θ) en produit de réflexions: σ Δσ 𝒟 avec θ=2.(𝒟,Δ). Si la droite 𝒟 est invariante par ρ(O,θ), alors, comme elle est fixe par σ 𝒟, elle est invariante par σ Δ. Deux cas peuvent se présenter :
  1. La droite 𝒟 est confondue avec Delta et ρ(O,θ)=σ 𝒟σ 𝒟 est l'identité.
  2. La droite 𝒟 est perpendiculaire à Delta et ρ(O,θ) est une symétrie centrale comme composée de deux réflexions d'axes perpendiculaires.
Fin de la démonstration

V Composées d'isométries

Isométries du plan affine euclidien → V Composées d'isométries
On rassemble ici les résultats concernant la composée de deux isométries. On verra ici ce qu'est un groupe. Ces résultats peuvent être démontrés en utilisant l'écriture complexe des transformations (voir le document Géométrie du plan complexe )

V-1 Groupe des translations et symétries centrales


Ces résultats suivants sont utiles pour déterminer la composée de deux isométries. Il suffit, en effet, de les décomposer en produit de réflexions bien choisies pour que la composée se simplifie. On trouvera des exemples ici et .

V-2 Composée de deux réflexions

V-3 Composée d'une réflexion et d'une translation

V-4 Principe de conjugaison

Isométries du plan affine euclidien → V Composées d'isométries

V-1 Groupe des translations et symétries centrales

Isométries du plan affine euclidienV Composées d'isométries → V-1 Groupe des translations et symétries centrales

V-1-1 Proposition

Proposition

L'ensemble ST(𝒫) des translations et symétries centrales muni de la composition est un groupe non commutatif. Plus précisément, si u et v sont des vecteurs et A, B et C des points, on a démontré :
  1. La composition est une loi interne non commutative :
    (i) La composée de deux translations est une translation :
    t vt u=t v+u
    (ii) La composée de deux symétries centrales est une translation :
    σ Bσ A=t 2AB
    (iii) La composée d'une symétrie centrale et d'une translation est une symétrie centrale.
    σ Ct u=σ DavecCD=12u
    t uσ C=σ EavecCE=12u

    On remarque que σ Ct u et t uσ C sont différents si u est non nul.
  2. L'élément neutre est l'application identique du plan affine noté Id 𝒫 : t 0=Id 𝒫
  3. L'inverse de t u est t u et σ A est son propre inverse.

La démonstration est à la page suivante. Ensuite, une remarque donne des astuces pour mémoriser ces résultats.

V-1-2 Démonstration du 1 de la proposition


Les figures mobiles sont dans des plis. Le point M et les données des transformations sont mobiles.
(i) Pour un point M quelconque du plan, on note M l'image de M par t u et M celle de M par t v. Alors, par définition, on a : MM=u et MM=v, on obtient par la relation de Chasles :
MM=MM+MM=u+v.

L'application t vt u qui à M associe M est donc t u+v.
(ii) Pour un point M quelconque du plan, on note M l'image de M par σ A et M celle de M par σ B. Alors, par définition, on a : MM=2AM et MM=2MB, on obtient par la relation de Chasles :
MM=MM+MM=2(AM+MB)=2AB.

L'application σ Bσ A qui à M associe M est donc t 2AB.
Figure : composée de deux symétries centrales

(iii) D'après (b), le point D tel que σ Cσ D=t u est le point D défini par DC=u2, c'est-à-dire D=t u2(C). En composant à droite par σ C l'égalité σ Cσ D=t u, on obtient σ Ct u=σ DavecCD=12u.
Comme t uσ C est l'inverse de σ Ct u, la symétrie centrale t uσ C a pour centre E avec CE=12u.
Figure : composée d'une symétrie centrale et d'une translation

V-1-3 Remarque


Comment mémoriser les éléments caractéristiques des composées ?
Quand on se souvient que la composée σ Bσ A est une translation, il suffit d'appliquer σ Bσ A à A pour obtenir le vecteur de la translation composée:
σ Bσ A(A)=σ B(A)=AetAA=2AB

vecteur d'une composée de symétries centrales


Quand on se souvient que la composée t uσ A est une symétrie centrale, il suffit d'appliquer t uσ A à A pour obtenir le centre C de la symétrie composée :
t uσ A(A)=t u(A)=AetAA=u
Alors C est le milieu de [AA], c'est-à-dire C est égal à t u/2(A).

centre d'une composée


V-2 Composée de deux réflexions

Isométries du plan affine euclidienV Composées d'isométries → V-2 Composée de deux réflexions

V-2-1 Les axes sont parallèles

Proposition

Soient Δ 1 et Δ 2 deux droites parallèles et 𝒟 une perpendiculaire commune à Δ 1 en N 1 et à Δ 2 en N 2. La composée σ Δ 2σ Δ 1 est la translation de vecteur 2.N 1N 2.
Soit une translation de vecteur u et Delta une droite quelconque orthogonale à u. Alors on peut décomposer t u en produit de deux réflexions t u=σ Δσ ΔΔ est l'image de Delta par la translation t u/2 : Δ=t u/2(Δ)

Démonstration
Soit M un point du plan, N 1 et N 2 ses projetés orthogonaux sur Δ 1 et Δ 2. On note M=σ Δ 1(M) et M=σ Δ 2(M). Alors, par définition de la projection et de la réflexion, les points M, M, M, N 1 et N 2 sont alignés sur la perpendiculaire commune 𝒟 à Δ 1 et Δ 2 passant par M. La restriction de σ Δ 2σ Δ 1 à 𝒟 est égale à σ N 2σ N 1, c'est-à-dire à la translation de vecteur 2.N 1N 2.
Pour une autre perpendiculaire commune 𝒟 à Δ 1 et Δ 2 passant par un point P, la restriction de σ Δ 2σ Δ 1 à 𝒟 est égale à la translation de vecteur 2.Q 1Q 2 (avec les notations de la figure).
Comme les côtés opposés de N 1N 2Q 2Q 1 sont parallèles, N 1N 2Q 2Q 1 est un parallélogramme donc les vecteurs N 1N 2 et Q 1Q 2 sont égaux. On a donc montré que σ Δ 2σ Δ 1 est égale à la translation de vecteur 2.N 1N 2 et que ce vecteur ne dépend pas de la perpendiculaire commune à Δ 1 et Δ 2.
Fin de la démonstration

Remarque

On peut donc écrire une symétrie glissée comme composée de trois réflexions.

V-2-2 Les axes sont sécants

Proposition

Soient Δ 1 et Δ 2 deux droites perpendiculaires et A leur point d'intersection. La composée σ Δ 2σ Δ 1 est la symétrie centrale de centre A. Elle est égale à σ Δ 1σ Δ 2.

Démonstration
Ce résultat est un cas particulier de cette proposition . On peut aussi le démontrer directement en se plaçant dans le cas particulier où les axes des réflexions sont les axes de coordonnées.
Fin de la démonstration

On rappelle cette proposition vue ici .

Proposition

La composée de deux réflexions d'axes sécants est une rotation. Toute rotation peut se decomposer comme produit de deux réflexions dont l'une est donnée.

V-3 Composée d'une réflexion et d'une translation

Isométries du plan affine euclidienV Composées d'isométries → V-3 Composée d'une réflexion et d'une translation
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, considérons un vecteur w et une droite Δ dirigée par un vecteur u. Le but de cette partie est de déterminer l'isométrie φ=t wσ Δ.
Décomposons le vecteur w selon la direction de Δ et la direction orthogonale, c'est-à-dire écrivons w=λu+vλ est un réel et v un vecteur orthogonal à u. Cette décomposition est unique. Posons u=λu.
La décomposition d'une translation vue ici nous donne : t v=σ Δσ Δ avec Δ=t v/2(Δ). On en déduit :
φ=t wσ Δ=t ut vσ Δ=t u(σ Δσ Δ)σ Δ=t uσ Δ.
Comme la droite Δ est parallèle à Δ dirigée par u, l'isométrie φ est une symétrie glissée d'axe Δ et de vecteur u.

Exercices

Ces exercices sont des applications directes de cette étude.
Composition translation et réflexion (1) (exercice graphique)
Composition translation et réflexion (2) (exercice graphique)
Composée translation et réflexion (3) (exercice graphique)
Composée d'une réflexion et d'une translation (1) (version analytique)
Composée d'une réflexion et d'une translation (2) (version analytique)
Isométries du plan affine euclidienV Composées d'isométries → V-3 Composée d'une réflexion et d'une translation

V-4 Principe de conjugaison

V-4-1 Définitions et propriétés

Définition

Soient f et g des applications. On appelle conjugué de g par f l'application fgf 1.

Remarque

Si ψ=fgf 1 est le conjugué de g par f, alors g est le conjugué de ψ par f 1. Il suffit d'écrire :
f 1ψf=f 1(fgf 1)f=(f 1f)g(f 1f)=g

Proposition [Points fixes]

Les points fixes de fgf 1 sont les images par f des points fixes de g.

Démonstration
Posons ψ=fgf 1. Notons Fixes(g) (resp. Fixes(ψ) l'ensemble des points fixes de g (resp. ψ). Nous voulons montrer l'égalité : Fixes(ψ)=f(Fixes(g)).
Soit C un point fixe de g. Par un calcul direct, on constate que l'image de f(C) par ψ est f(C). Donc nous avons montré l'inclusion f(Fixes(g))Fixes(ψ).
Appliquons ce résultat à g qui est le conjugué de de ψ par f 1. Nous obtenons l'inclusion f 1(Fixes(ψ))Fixes(g), c'est-à-dire Fixes(ψ)f(Fixes(g)).
Les deux inclusions donnent l'égalité attendue.
Fin de la démonstration

Proposition

Le conjugué d'une involution est une involution.

Démonstration
Si s est une involution, alors, comme ss est égal à l'identité, on a :
(fsf 1)(fsf 1)=fs(f 1f)sf 1=f(ss)f 1=ff 1=Id
Fin de la démonstration

Ces propriétés suggèrent le principe de conjugaison :

Corollaire [Principe de conjugaison]

Le conjugué d'une isométrie g est une isométrie de même type que g dont les éléments caractéristiques sont les "images par f" de ceux de g.
Ce résultat doit être démontré dans chaque cas. Comme on connaît le type du conjugué, la démonstration s'avère plus facile.
En effet, dans la plupart des cas, le nombre de points fixes caractérise le type d'une isométrie dès qu'on sait si elle est positive ou négative (voir ici et ici ). Une isométrie et sa conjuguée ont même nombre de points fixes et même "signe". Seul le cas des rotations demande un peu plus de travail.

V-4-2 Applications

Exemple

Soit u un vecteur non nul et A un point du plan. L'isométrie t uσ At u la symétrie centrale de centre t u(A).

Démonstration
Première méthode. On sait que la composée d'une symétrie centrale et d'une translation est une symétrie centrale donc σ At u est une symétrie centrale qui composée avec t u donne une autre symétrie centrale dont le centre est son unique point fixe t u(A).
Deuxième méthode. Quand on connaît la classification des isométries (voir ici , on sait que t uσ At u est une isométrie positive, de plus c'est une involution avec comme unique point fixe est t u(A), t uσ At u est donc la symétrie centrale de centre t u(A).
Fin de la démonstration

Exemple

Soit u un vecteur non nul. L'isométrie t uσ Δt u est un antidéplacement qui fixe point par point la droite Δ=t u(Δ), c'est donc la réflexion d'axe Δ.
On pouvait aussi conclure en utilisant simplement le lemme du théorème de décomposition. Comme t uσ Δt u admet au moins deux points fixes (des points de Δ) et n'est pas l'identité, elle est la réflexion d'axe Δ.

Remarque

Le principe de conjugaison est très utile dans les questions de commutation. Il est clair que deux applications f et g commutent si et seulement si le conjugué de g par f est l'application g.
Par exemple, puisque t uσ At u est la symétrie centrale de centre t u(A), une translation et une symétrie centrale ne commutent pas sauf si le vecteur de la translation est nul.

VI Décomposition en produit de réflexions.

Isométries du plan affine euclidien → VI Décomposition en produit de réflexions.

L'identité est composée de zéro réflexion par convention. Les translations et les rotations sont composées de deux réflexions. Les réflexions sont composées d'une seule réflexion et les symétries glissées de trois (on décompose la translation en produit de deux réflexions.). Le théorème présenté ici affirme que toute isométrie peut être décomposée en produit de réflexions. Il a une grande importance théorique (voir les propriétés des isométries ici ) mais aussi pratique (voir l'exemple ici et l'application ).
A la suite de ce théorème, nous admettons que nous avons ainsi vu tous les types d'isométries.

VI-1 Théorème

VI-2 Remarque

VI-3 Application

Isométries du plan affine euclidien → VI Décomposition en produit de réflexions.

VI-1 Théorème

Théorème

Toute isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions.
La démonstration se déroule en plusieurs lemmes.

Lemme

Si une isométrie φ fixe trois points non alignés A, B et C, alors φ est l'identité.

Démonstration
En effet si M=φ(M) est distinct de M alors puisque φ est une isométrie, on a : AM=AM, BM=BM et CM=CM, les trois points A, B et C sont donc alignés sur la médiatrice de [MM].
Fin de la démonstration

Remarque

Ce lemme pourrait s'énoncer ainsi : Soit φ une isométrie fixant trois points A, B et C. Si A, B et C ne sont pas alignés, alors φ est l'identité. On a démontré la contraposée de cette proposition : Si φ n'est pas l'identité alors A, B et C sont alignés sur la médiatrice de [Mφ(M)] pour Mφ(M).
Parmi les isométries que nous connaissons, celles qui ont trois points fixes distincts sont des réflexions. L'axe d'une réflexion σ est de fait la médiatrice de [Mσ(M)] pour Mσ(M).

Lemme

Si une isométrie φ fixe deux points A et B, mais pas trois points non alignés alors φ est σ (AB).

Démonstration
En effet soit C n'appartenant pas à la droite (AB) tel que C=φ(C) soit distinct de C, alors comme φ est une isométrie et que A et B sont fixes par φ, on a : AC=AC et BC=BC donc (AB) est la médiatrice de [CC]. L'application σ (AB)φ fixe trois points non alignés A, B et C, c'est donc l'identité et φ égale σ (AB).
Fin de la démonstration

Lemme

Si une isométrie φ admet un unique point fixe A, alors φ est une rotation de centre A, composée de deux réflexions.

Démonstration
En effet soit B distinct de A et B son image par φ (distincte de B par hypothèse). Comme φ est une isométrie, A appartient à la médiatrice Δ de [BB]. Alors σ Δφ fixe A et B (deux points distincts) donc cette isométrie est l'identité (impossible car φ serait une réflexion) ou une réflexion d'axe (AB). Donc φ la composée de deux réflexions d'axes passant par A, φ est une rotation de centre A.
Fin de la démonstration

Lemme

Si une isométrie φ n'admet aucun point fixe, elle est composée d'au plus trois réflexions.

Démonstration
Soit A et son image AA et Δ la médiatrice de [AA]. Alors σ Δφ fixe A donc est composée d'au plus deux réflexions.
Fin de la démonstration

VI-2 Remarque

Nous avons déterminé les types des composées de deux réflexions ici . Pour décrire les composées de trois réflexions, nous allons commencer par admettre la proposition suivante.

Proposition

Soient Δ 1, Δ 2 et Δ 3 trois droites du plan. La composée de trois réflexions σ Δ 1σ Δ 2σ Δ 3 est une réflexion si et seulement si les droites Δ 1, Δ 2 et Δ 3 sont parallèles ou concourantes.

Une fois ce résultat admis, pour déterminer la composée de trois réflexions, il reste à considérer deux cas :
  1. deux des axes sont parallèles alors à l'aide du principe de conjugaison (voir ici ), on se ramène à la composée d'une translation et d'une reflexion, exemple traité ici ;
  2. les trois axes portent les côtés d'un triangle et on se ramène à l'exercice WIMS proposé .
Nous admettrons donc que la composée de trois réflexions est soit une réflexion, soit une symétrie glissée.

VI-3 Application

Pour simplifier la composée de deux déplacements, il est souvent utile de décomposer chaque isométrie comme produit de deux ou trois réflexions bien choisies. Voici un exemple.

Exemple

Soit un vecteur u et un point A. On veut déterminer ψ=ρ(A,π/3)t u.
Quel est le type de ψ ? L'isométrie ψ est un déplacement comme composée de déplacements (voir ici ). Ce n'est pas une translation sinon ρ(A,π/3) serait une translation ! C'est donc une rotation.
Pour décomposer ρ(A,π/3) en réflexions, nous devons utiliser des réflexions d'axes passant par A. Pour décomposer t u en réflexions, nous devons utiliser des réflexions d'axes orthogonaux à u. Soit donc Δ la droite passant par A et orthogonale à u.
Alors ρ(A,π/3) s'écrit σ Δ 2σ Δ si Δ 2 est la droite passant par A et telle que l'angle (Δ,Δ 2) soit égal à π/6.
Alors t u s'écrit σ Δσ Δ 1 si Δ 1 est l'image de Δ par la translation de vecteur u2.
On peut maintenant calculer ψ :
ψ=ρ(A,π/3)t u=σ Δ 2(σ Δσ Δ)σ Δ 1=σ Δ 2σ Δ 1

Comme Δ 1 est parallèle à Δ, les droites Δ 2 et Δ 1 sont sécantes en un point nommé B et ψ est la rotation de centre B et d'angle π/3.

Exercice

Cet exercice propose le cas plus simple de la composée d'une rotation et d'une réflexion.
Composée rotation - réflexion (exercice graphique)

VII Classification

Isométries du plan affine euclidien → VII Classification

VII-1 Groupe

VII-1-2 Exemples de groupes de nombres

Isométries du plan affine euclidienVII ClassificationVII-1 Groupe → VII-1-2 Exemples de groupes de nombres

VII-1-1 Définition

Définition

On appelle groupe G un ensemble muni d'une loi de composition interne (une application qui à deux éléments de G associe un élément de G) tels que :
  1. La loi soit associative : pour tous g 1, g 2 et g 3 éléments du groupe, on a :
    (g 1g 2)g 3=g 1(g 2g 3)
  2. Il existe dans G un élément neutre e pour la loi : Pour tout gG, eg=ge=g
  3. Tout élément g a un inverse g 1 (appelé aussi symétrique quand le groupe est commutatif) tel que g 1g=gg 1=e.
Si la loi est commutative pour les éléments de G, on dit que le groupe est commutatif.

Remarques

  1. L'addition de nombres réels est commutative.
  2. La loi de composition des applications est associative mais non commutative en général.

VII-1-3 Exemples de groupes en géométrie

Isométries du plan affine euclidienVII ClassificationVII-1 Groupe → VII-1-3 Exemples de groupes en géométrie

VII-2 Groupe des isométries

Isométries du plan affine euclidienVII Classification → VII-2 Groupe des isométries

Théorème

On note l'ensemble des isométries du plan . Alors est un groupe non commutatif.

Démonstration
Vérifions les trois axiomes d'un groupe.
  • La composition est associative, montrons que c'est une loi interne dans l'ensemble des isométries. La composée de deux isométries est une isométrie. En effet, si et sont deux isométries du plan et M et N deux points quelconques alors la longueur M N est conservée par :
    La loi de composition est donc interne dans mais non commutative, par exemple, deux symétries centrales ne commutent pas.
  • L'identité est une isométrie.
  • Toute isométrie a un inverse qui est une isométrie comme composée de réflexion. Par exemple, si , et sont des droites, l'inverse de est en effet on calcule en utilisant l'associativité et le fait qu'une réflexion est involutive :
Fin de la démonstration

Proposition

Une isométrie transforme une droite en une droite, deux droites parallèles en deux droites parallèles et conserve le produit scalaire, les angles géométriques et les milieux.

Démonstration
Ces propriétés sont vérifiées par toutes les isométries puisqu'elles le sont par les réflexions et donc par leurs composées.
Fin de la démonstration
Isométries du plan affine euclidienVII Classification → VII-2 Groupe des isométries

VII-3 Isométries et angles orientés

Isométries du plan affine euclidienVII Classification → VII-3 Isométries et angles orientés
La proposition suivante résulte du fait qu'une réflexion change un angle orienté en son opposé (voir ici ).

Proposition

Une composée d'un nombre pair de réflexions conserve les angles orientés. Une composée d'un nombre impair de réflexions change un angle orienté en son opposé.
La parité du nombre de réflexions dans la décomposition d'une isométrie ne dépend donc pas de la décomposition.

Définition

On dit qu'une isométrie est un déplacement ou une isométrie positive si elle conserve les angles orientés.
Sinon on dit que c'est un antidéplacement ou une isométrie négative.

Corollaire

  • Un déplacement est une isométrie composée d'un nombre pair de réflexions.
  • Un antidéplacement est une isométrie composée d'un nombre impair de réflexions.
  • La composée de deux déplacements est un déplacement.
  • La composée de deux antidéplacements est un déplacement.
  • La composée d'un antidéplacement et d'un déplacement est un antidéplacement.

On en déduit la première affirmation de la proposition suivante ; la deuxième affirmation résulte des propriétés vues ici .

Proposition

On note l'ensemble des isométries positives du plan . Alors est un groupe non commutatif.
Soit C un point, l'ensemble des rotations de centre C muni de la composition est un groupe commutatif.
Isométries du plan affine euclidienVII Classification → VII-3 Isométries et angles orientés

VIII Faisons agir des isométries

Isométries du plan affine euclidien → VIII Faisons agir des isométries

VIII-1 Frises et isométries

VIII-2 Polygones et isométries

Quand on connaît les rotations et les réflexions et qu'on sait les composer, on est outillé pour étudier les polygones réguliers.
Le livre de Daniel Perrin, Mathématiques d'école
Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1)
présente une étude complète des polygones réguliers, du groupe de leurs isométries et de leur construction à la règle et au compas. On peut consulter aussi le document Polygones convexes réguliers .

VIII-3 Pavage et isométries

document sur la description, classification et composition des isométries du plan.
: isometries,symmetry,transformation_group,rotation,translation, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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